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Jogos e dinâmicas

Tabuada de Pitágoras



Vamos construir a tabuada de Pitágoras?

Recorte um papel cartão na seguintes medidas:
28 cm x 28 cm
2 tiras de 41 cm x 2,5 cm
4 tiras de 2,0 cm x 20 cm
1 folha de 20 cm x 20 cm
faça um x na folha de 28 cm e cole o quadrado no meio 20 cm x 20 cm
quadricule a folha de 20 cm x 20 cm de 1 cm em 1 cm
a seguir enumere a tabuada 
faça os números também nas barrinhas de 2 cm

       

                                            


OBSERVAÇÕES:

     1-  Peça aos alunos que preencham a tabua de Pitágoras, observando possíveis regularidades.
      2- Peça que encontrem formas eficazes de preencher com rapidez a Tábua.Em seguida, promova uma discussão entre os alunos sobre as formas encontradas, incentivando-os a elegerem as mais eficazes.
     3 - Em geral as formas encontradas pelos alunos de preencher com mais rapidez a Tábua, referem-se às propriedades comutativa, associativa e distributiva da multiplicação. Ao proporcionar aos alunos a oportunidade de estabelecer relações entre as diversas tabuadas, os alunos podem compor os resultados de uma tabuada a partir de outras, o que facilita a memorização.

ATIVIDADES:
Se você somar o resultado da tabuada de 2 com a tabuada de 3, você encontrará o resultado de que tabuada?
R:A do 5.
Como encontrar o resultado da tabuada de 4, se sabemos o resultado databuada de 3?
R:Somamos cada elemento da tabuada 3 com o numero que correspondente a sua posição da tabela.
 Ex: 3 está na posição 1, então3+1=4; 6 está na posição 2, então 6+5=8, e assim sucessivamente

MATERIAL DOURADO

O Material Dourado é um dos muitos materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria Montessori para o trabalho com matemática. Embora especialmente elaborado para o trabalho com aritmética, a idealização deste material seguiu os mesmos princípios montessorianos, para a criação   seus materiais, a educação sensorial:

- Desenvolver na criança a independência, confiança em si mesma, a concentração, a coordenação e a ordem;
- Gerar e desenvolver experiências concretas estruturadas para conduzir, gradualmente, a abstrações cada vez maiores;
- Fazer a criança, por ela mesma, perceber os possíveis erros que comete ao realizar uma determinada ação com o material;
- Trabalhar com os sentidos da criança.


A compreensão do algoritmo

Muitas das pessoas que aprenderam o algoritmo habitual da multiplicação, embora saibam executa-la, não o compreendem. Desse modo, a execução da conta é um ato mecânico, sem raciocínio matemático. O colega deve estar percebendo que compreender uma técnica de cálculo não é apenas saber executá-la. é mais que isso, é entender seus porquês.
Surge aqui uma pergunta: como a criança chegará á compreensão do algoritmo que acabamos de ver? Será necessário explicar-lhe, por exemplo, a propriedade distributiva?
De acordo com a experiência de vários educadores, o caminho não é esse; não são explicações mais detalhes que levarão a criança á compreensão. O ideal é fornecer á criança problemas e situações variadas que estimulem o raciocínio. Por exemplo, trabalhar vário aspectos da multiplicação ( adição de parcelas iguais, organização retangular etc.) e usar materiais que ajudem a compreender o sistema decimal ( ábacos, material Dourado-Montessori ) , etc.

Blocos Lógicos

Blocos Lógicos são conjunto de pequenas peças geométricas divididas em quadrados, retângulos, triângulos e círculos e tem por finalidade auxiliar na aprendizagem de crianças na educação infantil e educação básica.
Podem ser confeccionados em madeira, plástico ou cartolina com diferentes tamanhos, espessura e cores. Podem ser adquiridas em estabelecimentos especializados em materiais pedagógicos.
Idealizador
Os blocos lógicos foram criados na década de 1950 pelo matemático húngaro Zoltan Paul Dienes e são eficientes para que os alunos exercitem a lógica e evoluam no raciocínio abstrato.
Constituem um material extraordinário para estimular na criança, a análise, o raciocínio e o julgamento, partindo da ação, para então desenvolver a linguagem. De 1890 a 1934 foram utilizados de modo sistemático com crianças pelo psicólogo russo Vygotsky, quando ele estudava a formação dos conceitos infantis.

Constituição padrão:

Os blocos lógicos constituem-se de caixas contendo 48 peças divididas em:
círculos, quadrados, triângulos e retângulos;
três cores (amarelo, azul e vermelho);
dois tamanhos (grande e pequeno);
duas espessuras (fino e grosso).

Aplicação nas séries iniciais
Esse material é um recurso de grande aplicabilidade nas séries iniciais, pois permite que a criança desenvolva as primeiras noções de operações lógicas e suas relações como correspondência e classificação, imprescindíveis na formação de conceitos de matemática. Como diz Piaget, " a aprendizagem da matemática envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. No caso dos blocos, o conhecimento físico ocorre quando a criança pega, observa e identifica os atributos de cada peça. O lógico-matemático se dá quando ela usa esses atributos sem ter o material em mãos (raciocínio abstrato)", é de vital importância no desenvolvimento cognitivo da criança, pois se não for trabalhado nas séries iniciais, o aluno pode nunca aprender matemática.


Sugestões de atividades
 O professor distribui a caixa com os blocos lógicos. Orienta a criança para que explore o material, olhe, manuseie e brinque.
Em conversa informal, o professor distribui a caixa com os blocos introduz a terminologia classificativa de cada peça de acordo com cores, formas, tamanha e espessura. O professor sugere questões para que cada peça fique no seu lugar. Cada aluno terá de pensar lá consigo: Qual a coluna que pode conter a peça que tenho na mão? E qual a fila que pode conter a mesma peça? E depois de descobrir ambas, e achar o seu cruzamento, o aluno fez a intersecção de conjuntos.
Empilhando peças:
Blocos lógicos espalhados pelo chão e os alunos em círculo, um aluno pega a primeira peça e coloca no meio e depois os outros vão empilhando as peças umas por cima das outras de forma a não derrubar a torre. A moral é que os alunos vão ter que ir escolhendo as melhores peças para não deixar cair a torre.
Blocos lógicos espalhados pelo chão, formar o conjunto das peças que não são triângulos. Esse jogo familiariza a criança com a negação, com o conjunto complementar.  



 pt.wikipedia.org/wiki/Blocos_lógicos‎




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Operações Matemáticas Fundamentais



Adição

A adição está associada às ideias de juntar, reunir, acrescentar. Essas idéias intuitivas, que adquirimos na vida e levamos para a escola, constituem o ponto de partida para o aprendizado da adição, que esta presente na própria noção de número e na construção do sistema de numeração decimal. Portanto, primeiro deve-se aprender os números para, depois, aprender a adicionar.
Para o aprofundamento progressivo do estudo da adição e das demais operações, é necessário compreender bem as regras básicas do sistema de numeração decimal. Sem esta compreensão, é bem mais difícil entender, por exemplo, como funcionam os processos de cálculo que usamos habitualmente.
Geralmente, nas escolas, não se exercita o calculo mental. Aprende-se a somar de um único modo, a técnica do" vai um".
  A técnica do " vai um" 


Nessa técnica, o primeiro passo é somar as unidades.          

                                                                                              265
                                                                                           + 167
                                                                                                  12

Observe que "vai um", é, na verdade, "vai uma dezena", pois 5+7=12, ou seja, 10+2.
Vamos agora somar as dezenas:  
                                                                                              11
                                                                                           + 265
                                                                                              167
                                                                                                 32
Observe que "vai um", é, na verdade, "vai uma centena", pois 60+60+10=130, ou seja, 100+30.
Agora somamos as centenas:
                                                                                             11
                                                                                             265          
                                                                                             167
                                                                                             432
                                                                                
                                                                                  200+100+ 100=400
Portanto, 265+167=432.


O processo do " vai um" se baseia no valor posicional. Compreendendo-se o processo, fica claro por que é necessário escrever unidade em baixo de unidade, dezena em baixo de dezena e etc. A subtração





 Subtração 
Na subtração, de um modo geral, há dificuldades para identificar as situações que envolvem a adição.Sendo assim , é difícil para as crianças identificarem a presença da subtração nos problemas. 
Qual será a razão dessa dificuldade? A razão está no fato de que, geralmente, associamos a subtração apenas ao ato de retirar, mas há outras duas situações que também são relacionadas com a subtração: os atos de comparar e de completar.
Vamos exemplificar cada uma das três situação:

  • Problema que envolve o ato de retirar 
" Quando Oswaldo abril a papelaria, pela manhã, havia 56 cadernos na prateleira. Durante o dia vendeu 13 ao fechar aloja, quantos cadernos haviam na prateleira?"
Ao resolver este problema pensamos assim: dos 56 cadernos tiramos 13. Para saber  quantos ficaram fazemos uma subtração: 56-13 = 43.
                                                                                     56
                                                                                    -13
                                                                                      43
No final havia 43 cadernos na prateleira.

  • Problema que envolve comparação          
" João pesa 36 quilos e Luis, 70 quilos. Quanto quilos Luis tem a mais que João?"
Esta pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luis é mais pesado que João, queremos saber quantos quilos a mais que ele tem. Respondemos a pergunta efetuando uma subtração: 70-36=34.

                                                                                     70
                                                                                    -36
                                                                                      34
Luis tem 34 quilos a mais que João.                                      
                                                                                           
  • Problema que envolve a ideia de completar
" O álbum completo terá 60 figurinha. Já possuo 43. Quantas faltam?"
Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum, pensamos num subtração 60-43=17.
                                                                                      60
                                                                                   -  43
                                                                                      17
Faltam 17 figurinhas.

Pode ser difícil estabelecer distinção entre estas três situações. De certo modo, elas se confundem, na medida em que todas podem ser revolvidas com base na mesma operação: a subtração. Entretanto, há uma diferença sutil entre elas. 





Multiplicação 

  Uma criança que ainda não sabe multiplicar pode, perfeitamente resolver este problema:
Uma caixa de lápis de cor contém 6 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a essa?
Como uma criança resolverá o problema, se não sabe efetuar 3 x 6? Simplesmente efetuando 6+6+6=18, ou seja, adicionado parcelas iguais.
    
    6
    6
+ 6
 18

Situações como essa que descrevemos explicam por que, atualmente, a maioria das professoras começa a ensinar a multiplicação de parcelas iguais. Elas explicam ás crianças que 3 x 6 significa 6+6+6, que 2x5 significa 5+5, e assim por diante.

A multiplicação pode ser considerada como uma maneira abreviada de indicar a adição de parcelas iguais. Essa ideia de adição de parcelas iguais aparecem em várias situações, como, por exemplo, a organização retangular.


Divisão

A escolha de critérios para dividir

Nas séries iniciais do 1 grau, ao trabalhar com a divisão, pretendemos que a criança compreenda o que significa, na matemática, dividir um numero por outro. Para que ele atinja essa compreensão é preciso realizar um trabalho que tem, como ponto de partida, como vimos, as experiência com situações em que ela, espontaneamente, reparte, divide, distribui.

Precisamos estar atentos para as divisões que as crianças realizam nas atividades, jogos e brincadeiras, ou na hora de repartir o chocolate ou lanche. Em cada oportunidade devemos discutir com elas o critério que usaram para dividir: a divisão foi em partes iguais ou não?

Não se trata, neste momento, de classificar estas divisões como certas ou erradas. A finalidade das discussões é fazê-las compreender que uma divisão  sempre envolve a escolha de critérios para dividir. Vejamos algumas questões que propiciam essa discussão.
  • “Repartir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas”. Não foi exigido que a divisão fosse feita em partes iguais. Temos muitas maneiras de fazer a distribuição:
- 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola;
-2 pessoas com 2 bolas e 2 com 3 bolas;
- as 4 pessoas recebem 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas;
- cada pessoa recebe 1 bola e ficam sobrando 6 bolas;
- 3 pessoas com 2 bolas e 1 pessoa com 4 bolas; etc.
  • “Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma quantidade de bolas”.
Neste caso temos 2 possibilidades:
- cada pessoa recebe 1 bola e sobram 6 bolas;
- cada pessoa recebe 2 bola e sobram 2 bolas;
  • “Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma quantidade de bolas e sobre o menor numero de bolas.
Neste caso só há um modo de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas.
  • “Repartir 9 bolas para 3 pessoas de modo que elas recebam o mesmo número de bolas, e cujo número seja o maior possível.” 
Cada pessoa deve receber 3 bolas.

Uma classe tem 40 alunos. Querendo dividi-los em grupos com o mesmo número de alunos, a professora discutiu com eles quais seriam as possibilidades, inclusive que não seria bom haver grupos com mais de 5 alunos. Quantos grupos foram formados de acordo com seu tamanho? Complete:

        grupos de 2 alunos.
        grupos de 4 alunos.
         grupos de 5 alunos.



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Contextualizando...


É importante que o educador observe se a atividade proposta esta de acordo com o perfil do aluno em relação aos conhecimentos que possui e as competências esperadas. Para verificar se as aulas estão sendo produtivas, o educador poderá realizar algumas perguntas sobre a matéria lecionada, como por exemplo:
              

Aluno: Gabriel Santos
Idade: 10 anos
Série: 5º ano

 1) Quais são as três características do sistema de numeração Hindu, que tornou este, o mais prático de todos?

Resposta: Nosso sistema é posicional, decimal e tem um símbolo representante para o nada, por isso é mais fácil de registrar grandes quantidades.

2) Você conseguiu entender o nosso sistema decimal através do Ábaco?
 Sim, ficou mais fácil de entender as continhas.

 3) Por que o ser humano começou a  agrupar os números de 10 em 10?
      Por que é o mesmo tanto de dedos que temos nas mãos, gostei disso porque sempre tive vergonha de fazer as contas nos dedos e agora não tenho mais.



 Situações que em que as operações matemáticas são utilizadas

  • Quando vamos ao supermercado e observamos os preços dos produtos;
  • Na loja, ao calcular as prestações de uma comprar;
  • Para pagar contas, passagem de ônibus, passagem de metrô, etc.;
  • Ao arquitetar a planta de um imóvel;
  • Para visualizar o  placar de jogos vôlei, futebol, basquetebol, etc.;
  • Em empresa,
  • para calcular o lucro ou prejuízo;
  • Ao comprar um bilhete de cinema, teatro e show;
  • Calendário, para contar os dias, mês e ano;
  •  Para calcular notas nas disciplinas escolares;
  • Para medir a altura e o peso;
  • Para medir a distancia de casa para o trabalho;
  • Na agenda para guarda o telefone, endereço ou data de nascimento de alguém;
  • Quando vamos vender ou comprar um veículo;
  • Para fazer uma receita de biscoito, as medidas;
  • Ao planejar as despesas de uma viagem;
  • Para calcular o tempo no banho no chuveiro elétrico;
  • Assistindo a  uma corrida de formula I.
  • Ao comprar uma roupa, observamos a numeração de um vestuário.
  • Brincar de amarelinha e jogos diversos

 










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Atividades Pedagógicas


A construção de um ábaco simplificado é muito fácil e barata, podendo ser feita pelas próprias crianças. A base do ábaco pode ser um pedaço de isopor, ou de qualquer material semelhante, como, por exemplo, uma caixa de ovos. As casas do ábaco podem ser varetas, espetinhos de churrasco ou pedaços de arame grosso, que serão espetados na base.


As "contas" do ábaco podem ser arruelas, argolas de plástico, tampas de garrafa de refrigerante furadas no meio, ou mesmo macarrão do tipo "argolinha". É importante que cada criança construa o seu ábaco para, em seguida, participar de atividades que envolvam contagens e a representação escrita dessas contagens.

A princípio, essas contagens não deverão superar a quantidade nove, a fim de que a criança fixe bem a escrita dos nove primeiros símbolos. Para tal, sugerimos que se usem cartõezinhos numerados de 1 a 9, juntamente com o ábaco, de modo que a quantidade representada no ábaco tenha o seu correspondente símbolo escrito no cartão.

Vejamos, por exemplo, a situação que representa a contagem de cinco coisas:


Ao contar dez coisas, a situação do ábaco pode ser esta:


No entanto, a criança não encontrará o símbolo para esta quantidade.

Podemos sugerir, então, que as crianças troquem as dez bolinhas da primeira vareta por uma, que será colocada na segunda vareta, representando uma dezena. Neste momento, deve ser introduzido o cartão com o símbolo zero, que indicará a casa vazia do ábaco, pois ao trocarmos dez unidades por uma dezena, não sobra nenhuma unidade na primeira vareta.


Continuando esse processo, a próxima unidade contada deverá ser representada por uma bolinha colocada na primeira vareta do ábaco, e a situação será assim representada pelos cartões:


Prosseguindo com outros exercícios desse tipo, a criança vai percebendo que a escrita dos números corresponde à situação representada no ábaco. 

Depois de várias atividades de contagem, podemos propor dois tipos inversos de exercícios: a uma quantidade representada no ábaco, a criança deverá fazer corresponder sua respectiva escrita e, a um número representado por escrito, mostrar a situação correspondente no ábaco.

  • Podemos trabalhar com fichas coloridas, combinando, por exemplo, que 10 fichas amarelas podem ser trocadas por uma azul (que equivale a uma dezena). Veja, por exemplo, como esse material pode ser usado para representar 23:




Peça que as crianças identifiquem, entre duas quantidades, qual é a maior, como por exemplo:






Quanto é maior? Por quê?

Discuta com as crianças quando seria necessário usar uma ficha de outra cor; por exemplo, fichas vermelhas.

A última situação apresentada envolve a noção de agrupamentos e trocas, pois, como vimos na lição através dos exemplos do pacote grande de fósforos e da contagem dos ovos por dúzia, é mais fácil contar grandes quantidades quando agrupamos as coisas.

O trabalho com agrupamentos e trocas leva as crianças à noção de base de um sistema de numeração.








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A História da Matemática: Como Surgiu a Noção de Número?


Como nasceram os números?

 Os homens das cavernas que viveram em nosso planeta há milhares de anos, não conheciam os números e nem sabiam contar. Então como surgiram os números?
 Naquele período, o homem, para se alimentar, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para se defender, usava paus e pedras. Com o tempo, o homem começou a procurar formas mais seguras e mais eficientes de atenderem as suas necessidades. foi assim que ele começou a cultivar plantas e criar animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000 anos atrás. 
 Os pastores de ovelhas tinham a necessidade de controlar os rebanhos. Como os pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras haviam se juntado ao rebanho?
 Alguns vestígios mostram que os pastores faziam este controle usando conjunto de pedras.Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de pedras.
Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras, saberia que tinha perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o rebanho havia aumentado.
 Uma ligação do tipo: para cada ovelha, uma pedra. chama-se em matemática, correspondência um a um. Isto é, associar a cada objeto de uma coleção um objeto de outra. Esta percepção foi um dos passos decisivos para a noção de número. Mas, provavelmente o homem usou outros objetos para fazer esta associação. Entretanto, surgiu um novo problema: Como registrar as quantidades?

Os primeiros registros numéricos


Nos museus de todo o mundo há inúmeros objetos com marcas, pertencentes a épocas antigas. Saõ pedaços de pau com talhos, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas paredes podemos ver marcas talhadas ou pintadas. Desta forma, o homem registrava o total de objetos que contava.: Uma marca para cada objeto.


Registrando grandes quantidades

Depois que o homem teve a ideia de fazer agrupamentos para facilitar a contagem, surgiu a necessidade de registrar os agrupamentos usando algum tipo de marca.
Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum contar pontos registrando agrupamentos de 5. Por exemplo, num jogo;
João fez [/] [/] (10 pontos)   Pedro fez [/] (5 pontos)


O sistema de numeração egípcio

Essa ideia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração. Os egípcios criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseando-se em agrupamentos. Desta forma, utilizando destes símbolos, eles escreviam todos os números que necessitavam.


 O sistema de numeração romano
Diversas civilizações da antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Alguns deles deixaram vestígios, apesar de terem sido abandonados. Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta minutos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isto é consequência da numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Lá era usada a base sessenta.
Outro vestígio da numeração antiga pode ser observado nos mostradores de relógios, na indicação de datas e de capítulos de livros: são os símbolos da numeração romana.


Assim como o sistema egípcio, também na numeração romana é trabalhoso escrever certos números. Veja:
três mil oitocentos e oitenta e oito
MMMDCCCLXXXVIII
1000+1000+1000+500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1




 Para não repetir 4 vezes um mesmo símbolo, os romanos utilizavam subtração. Observe alguns números que seriam escritos com 4 símbolos e como os romanos passaram a escrevê-los:

QUATRO                      IV       5-1
NOVE                           IX       10-1
QUARENTA                XL       50-10
NOVECENTOS          CM      1000-100

O sistema de numeração decimal

 A numeração egípcia e romana são pouco práticas em relação ao nosso sistema de numeração, pois, para representar certos números,  os egípcios e romanos precisavam enfileirar uma grande quantidade de símbolos.
Com  o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes, podemos escrever qualquer número, enquanto que, nas numerações egípcia e romana para se escrever números grandes seria preciso criar novos símbolos: um para o dez mil, outro para dez milhões, outro para cem milhões e etc.


Essas dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores do nosso sistema de numeração. Eles souberam reunir três características que já apareciam em outros sistemas numéricos da Antiguidade:
* o sistema de numeração hindu é decimal ( o egípcio, o chinês e o romano também o eram);
* o sistema de numeração hindu era posicional ( o babilônio também era);
* o sistema de numeração hindu tem o zero, isto é, um símbolo para o nada.

Essas três características, reunidas, tornaram o sistema de numeração hindu o mais prático de todos. Não é sem motivos que hoje ele é usado quase no mundo todo.
Vamos analisar as características do nosso sistema de numeração para compreender suas regras de funcionamento. Sem esta compreensão é atender as técnicas é impossível entender as técnicas operatórias, os números decimais e o sistema métrico decimal.


Agrupamento e reagrupamento

Agrupar e reagrupar de 10 em 10 é uma das caraterísticas do nosso sistema de numeração, que, por isso, é chamado de numeração decimal. também dizemos que nosso sistema tem base 10.
Os agrupamentos de grupos de 10 são denominados centenas; os grupos de 10, dezenas e os objetos soltos, unidades.
O hábito de agrupar de 10 em 10, presente em vários sistemas, sem dúvida se relaciona com a utilização dos dedos na realização de contagens. Foi usado  os dedos das mãos que o homem que aprendeu a contar. Fazemos isso até hoje...
Entretanto, o homem não se comentou só com suas mãos.  Ele criou alguns instrumentos para auxilia-los nos cálculos. Dentre esses instrumentos., destaca-se  o ábaco, pela eficiência e simplicidade. Ele continua a ser usado até os dias de hoje.

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